Question

兩縣城A和B相距20km，現計劃在兩城外以AB為直徑的半圓弧

AB

上選擇一點C建造垃圾處理廠，其對城市的影響度與所選地點到城市的距離有關，對城A和城B的總影響度為城A與城B的影響度之和，記C點到城A的距離為x km，建在C處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度為y，統計調查表明：垃圾處理廠對城A的影響度與所選地點到城A的距離的平方成反比，比例系數為4；對城B的影響度與所選地點到城B的距離的平方成反比，比例系數為k，當垃圾處理廠建在

AB

的中點時，對城A和城B的總影響度為0.065．
（1）按下列要求建立函數關系式：
①設∠CAB=θ（rad），將θ表示成y 的函數；并寫出函數的定義域．
②設AC=x（km），將x表示成y的函數；并寫出函數的定義域．
（2）請你選用（1）中的一個函數關系確定垃圾處理廠的位置，使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最小？

Answer 1

分析：（1）①設∠CAB=θ（rad），AC=20cosθ，BC=20sinθ，結合當垃圾處理廠建在

AB

的中點時，對城A和城B的總影響度為0.065，則可得函數解析式，并可寫出函數的定義域；
②先利用AC⊥BC，求出，再利用圾處理廠對城A的影響度與所選地點到城A的距離的平方成反比，比例系數為4；對城B的影響度與所選地點到城B的距離的平方成反比，比例系數為k，得到y和x之間的函數關系，最后利用垃圾處理廠建在的中點時，對城A和城B的總影響度為0.065求出k即可求出結果．
（2）先求出導函數以及導數為0的根，進而求出其單調區間，找到函數的最小值即可．

解答：解：（1）①在直角△ABC中，AC=20cosθ，BC=20sinθ，則y=

4

400cos2θ

+

k

400sin2θ

（0＜θ＜

π

2

）
當x=10

2

時，y=0.065，所以k=9
所以y表示成x的函數為y=

4

400cos2θ

+

9

400sin2θ

（0＜θ＜

π

2

）；
②由題意知AC⊥BC，BC²=400-x²，y=

4

x2

+

9

400-x2

（0＜x＜20）
（2）選②，則y′=

18x4-8(400-x2)2

x3(400-x2)2

，
令y'=0得18x⁴=8（400-x²）²，
所以x²=160，即x=4

10

，
當0＜x＜4

10

時，18x⁴＜8（400-x²）²，即y'＜0，以函數為單調減函數，
當4

10

＜x＜20時，18x⁴＞8（400-x²）²，即y'＞0，所以函數為單調增函數．
所以當x=4

10

時，即當C點到城A的距離為4

10

時，函數y=

4

x2

+

9

400-x2

（0＜x＜20）有最小值．

點評：本題主要考查函數在實際生活中的應用問題，涉及到函數解析式的求法以及利用導數研究函數的最值問題，屬于中檔題目