Question

已知平面向量a=(,-),b=(,).

(1)證明:a⊥b;

(2)若存在不為零的實數t,x,y,使得c=a+2xb,d=-ya+(t-2x²)b,且c⊥d,試求函數y=f(x)的表達式；

(3)若t∈［6,+∞］,當f(x)在區間［0,1］上的最大值為12時,求此時t的值.

Answer 1

(1)證明：∵a·b=-=0，∴a⊥b.

(2)解：c·d=-y+2x(t-2x²)=0f(x)=2tx-4x³.

(3)解：若存在t滿足條件，則f′(x)=2t-12x²(t≥0),由f′(x)=0x=,

當0≤x＜,f′(x)＞0,f(x)在［0，］上遞增;

當x＞時，f′(x)＜0,f(x)在（,+∞）上遞減.

∴t≥6時，f(x)在［0，1］遞增，f(x)_max=f(1)=2t-4=12,∴t=8∈［6,+∞).

綜上，存在常數t=8，使f(x)有最大值為12.