Question

如圖，已知四邊形與均為正方形，平面平面.

(1)求證：平面；

(2)求二面角的大小.

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）要證直線與平面垂直，只須證明這條直線與平面內的兩條相交直線垂直或證明這條直線是兩垂直平面中一個平面內的一條直線，且這條直線垂直于這兩個平面的交線即可.本題屬于后者，由平面平面且交線為，而且平面，所以問題得證；（2）解決空間角最有效的工具是向量法，先以點為坐標原點，利用已有的垂直關系建立空間直角坐標系，為計算的方便，不妨設正方形的邊長為1，然后標出有效點與有效向量的坐標，易知平面的法向量為，再利用待定系數法求出另一平面的法向量，接著計算出這兩個法向量夾角的余弦值，根據二面角的圖形與計算出的余弦值，確定二面角的大小即可.

試題解析：(1)因為平面平面，且平面平面

又因為四邊形為正方形，所以

因為平面，所以平面 4分

(2)以為坐標原點，如圖建立空間直角坐標系

則

所以平面的法向量為 5分

設平面的法向量為

因為

由得即

令，則 6分

因為

所以二面角的大小為 8分.

考點：1.面面垂直的性質；2.線面垂直的證明；3.空間角的計算.