Question

如圖，曲線C₁是以原點O為中心，F₁、F₂為焦點的橢圓的一部分，曲線C₂是以原點O為頂點，F₂為焦點的拋物線的一部分，A(

3

2

，

6

)是曲線C₁和C₂的交點．
（Ⅰ）求曲線C₁和C₂所在的橢圓和拋物線的方程；
（Ⅱ）過F₂作一條與x軸不垂直的直線，分別與曲線C₁、C₂依次交于B、C、D、E四點，若G為CD中點，H為BE中點，問

|BE|•|GF2|

|CD|•|HF2|

是否為定值，若是，求出定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設曲線C₂所在的拋物線的方程為y²=2px，將A(

3

2

，

6

)代入可得p的值，利用橢圓的定義，可得曲線C₁所在的橢圓的方程；
（Ⅱ）設B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），過F₂與x軸不垂直的直線為x=ty+1，與橢圓方程聯立，利用韋達定理可得|y1-y2|=

(16t)2-4(-64)(9+8t2)

9+8t2

，同理可得|y3-y4|=

16t2+16

，進而可得

|BE|•|GF2|

|CD|•|HF2|

為定值．

解答：解：（Ⅰ）設曲線C₂所在的拋物線的方程為y²=2px，將A(

3

2

，

6

)代入可得6=2p×

3

2

，∴p=2
∴曲線C₂所在的拋物線方程為：y²=4x…（2分）
∴c=1，2a=

( 3 2 +1)2+( 6 )2

+

( 3 2 -1)2+( 6 )2

=6，
∴曲線C₁所在的橢圓的方程為

x2

9

+

y2

8

=1…（4分）
（Ⅱ）設B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），過F₂與x軸不垂直的直線為x=ty+1，與橢圓方程聯立，消去x可得（9+8t²）y²+16ty-64=0，
∴y1+y2=-

16t

9+8t2

，y1y2=-

64

9+8t2

，…（6分）
∴|y1-y2|=

(16t)2-4(-64)(9+8t2)

9+8t2

直線x=ty+1，與拋物線方程聯立，消去x可得y²-4ty-4=0，∴y₃+y₄=4t，y₃y₄=-4…（8分）
∴|y3-y4|=

16t2+16

∴

|BE|•|GF2|

|CD|•|HF2|

=

|y1-y2|• 1 2 |y3+y4|

|y3-y4|• 1 2 |y1+y2|

=

(16t)2-4(-64)(9+8t2) 9+8t2 •|4t|

16t2+16• |16t| 9+8t2

=3
即

|BE|•|GF2|

|CD|•|HF2|

為定值3．…（14分）

點評：本題考查橢圓、拋物線的標準方程，考查直線與橢圓、拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，聯立方程，正確運用韋達定理是關鍵．