Question

設各項均為正數的數列的前項和為，滿足且恰好是等比數列的前三項．
（Ⅰ）求數列、的通項公式；
（Ⅱ）記數列的前項和為,若對任意的，恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ） ，；(Ⅱ)

試題分析：（Ⅰ）根據數列的通項與數列前項和的關系，由 ，得；兩式相減得數列的遞推公式，從而得出數列通項公式.由此可求以確定等比數列的首項和公比,進而得到數列的通項公式.
(Ⅱ)由（Ⅰ）的結果求,把變形為,,所以不小于的最大值.
只需探究數列的單調性求其最大值即可.
試題解析：（Ⅰ）當時，，
,      2分
當時，是公差的等差數列.構成等比數列，，，解得,    3分
由條件可知，      4分
 是首項,公差的等差數列.
數列的通項公式為.      5分,
數列的通項公式為      6分
(Ⅱ) ， 對恒成立， 對恒成立，----9分，
令，，當時，，當時，，．    12分項和.2、參變量范圍的求法.