Question

函數f（x）對任意實數x均有f（x+2）=kf（x），其中k為已知的正常數，且f（x）在區間[0，2]上有表達式f（x）=x（x-2）．
（1）求f（-1），f（2.5）的值；
（2）求f（x）在[-2，2]上的表達式，并寫出函數f（x）在-2，2上的單調區間（不需證明）；
（3）求函數f（x）在[-2，2]上的最小值，并求出相應的自變量的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用f（x+2）=kf（x），進行賦值，即可求f（-1），f（2.5）的值；
（2）設-2≤x＜0，利用f（x）在區間[0，2]上有表達式f（x）=x（x-2），f（x+2）=kf（x），可求函數解析式，根據函數解析式，可得函數的單調區間；
（3）由函數f（x）在[-2，2]上的單調性知，f（x）在x=-1或x=1處取得極小值，分類討論，即可求得函數的最小值．
解答：解：（1）∵f（x+2）=kf（x），∴f（-1）=f（-1+2）=f（1）=-，
f（2.5）=f（0.5+2）=kf（0.5）=k××（）=-；
（2）設-2≤x＜0，則0≤x+2＜2．
∵f（x）在區間[0，2]上有表達式f（x）=x（x-2），
∴f（x+2）=x（x+2），
∵f（x+2）=kf（x），∴kf（x）=x（x+2）
∴f（x）=x（x+2）
∴f（x）=
∵k＞0，根據二次函數的圖象得f（x0的減區間為[-2，-1]，[0，1]，增區間為[-1，0]，[1，2]
（3）由函數f（x）在[-2，2]上的單調性知，f（x）在x=-1或x=1處取得極小值．f（-1）=-，f（1）=-1．
故有：①當-＞-1，即k＞1時，f（x）在x=1處取得最小值-1，
②當-=-1，即k=1時，f（x）在x=±1處都取得最小值-1．
③當-＜-1，即0＜k＜1時，f（x）在x=-1處取得最小值-．
點評：本題考查函數的性質，考查函數的單調性，考查函數最值的討論，考查學生分析解決問題的能力．