Question

（本小題滿分12分）

設(shè)，且,定義在區(qū)間內(nèi)的函數(shù)是奇函數(shù).

（1）求的取值范圍；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)性并證明.

 

Answer 1

【答案】

（1）. （2）在（-b,b)內(nèi)是減函數(shù)，具有單調(diào)性.

【解析】

試題分析：（1）由函數(shù)f（x）在區(qū)間（-b，b）是奇函數(shù)，知f（-x）=-f（x），x∈（-b，b）上恒成立，用待定系數(shù)法求得a；同時(shí)函數(shù)要有意義，即＞0，x∈（-b，b）上恒成立，可解得結(jié)果．

（2）選用定義法求解，先任意取兩個(gè)變量且界定大小，再作差變形看符號．

解 （1）是奇函數(shù)等價(jià)于：

對任意都有…………………2分

（1）式即為，由此可得,也即,…………………4分

此式對任意都成立相當(dāng)于,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013011315313058966107/SYS201301131532032458321891_DA.files/image011.png">,所以，

代入②式，得＞0,即,此式對任意都成立相當(dāng)于,…………………6分

所以的取值范圍是.…………………7分

（2）設(shè)任意的，且,由，得,

所以…………………9分

從而 

因此在（-b,b)內(nèi)是減函數(shù)，具有單調(diào)性. …………………12分

考點(diǎn)：本試題主要考查了函數(shù)的奇偶性，還考查了用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用。

點(diǎn)評：解決該試題的關(guān)鍵是要注意定義域優(yōu)先考慮原則，以及作差時(shí)的變形要到位，要用上兩個(gè)變量的大小關(guān)系。