Question

如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于O，AB=4，AD=3．沿AC把△ACD折起，使二面角D₁-AC-B為直二面角．
（1）求直線AD₁與直線DC所成角的余弦值；
（2）求二面角A-DD₁-C的平面角正弦值大小．

Answer 1

分析：（1）以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，平面ABC為xOy平面，BC，BA方向分別為x軸，y軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，求出

AD1

，

DC

的坐標(biāo)，利用向量的夾角公式，即可求直線AD₁與直線DC所成角的余弦值；
（2）分別求出平面D₁BC的法向量、平面D₁BA的法向量，利用向量的夾角公式，即可求出二面角A-DD₁-C的平面角正弦值大小．

解答：解：（1）以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，平面ABC為xOy平面，BC，BA方向分別為x軸，y軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．則B（0，0，0），C（3，0，0），A（0，4，0）．
在矩形ABCD中，作DH⊥AC于H，HM⊥BC于M，HN⊥AB于N，則H即為D₁在平面ABC上的射影．
∵AB=4，AD=3，∴AC=5，DH=

12

5

，HN=

27

25

，HM=

64

25

，D1(

27

25

，

64

25

，

12

5

)，…（6分）
∴

AD1

=(

27

25

，

64

25

，

12

5

)-(0，4，0)=(

27

25

，

-36

25

，

12

5

)，

DC

=(3，0，0)-(3，4，0)=(0，-4，0)，
所以cos＜

AD1

，

DC

＞=

AD1 • DC

| AD1 || DC |

=

12

25

．      …（10分）
（2）設(shè)平面D₁BC的法向量為

n

=(a，b，c)，

BC

=(3，0，0)，

BA

=(0，4，0)，
∵

n

•

BC

=0，

n

•

D1B

=0，∴

a=0 27a+64b+60c=0

∴

n

=(0，-15，16)．
設(shè)平面D₁BA的法向量為

m

=(x，y，z)，
∵

m

•

BA

=0，

m

•

D1B

=0，
∴

y=0 27x+64y+60z=0

，∴

m

=(-20，0，-9)．…（14分）
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=-

144

481

，
∴sinθ=

1-( 144 481 )2

=

25 337

481

．…（16分）

點(diǎn)評：本題考查空間角，考查向量知識的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定向量的坐標(biāo)是關(guān)鍵．