Question

定義max{ a  b }=

a   a≥b    b   a＜b

．設實數x，y滿足約束條件

x2≤4 y2≤4

，則z=max{4x+y，3x-y}的取值范圍為（　　）

A．[-7，10]

B．[-7，8]

C．[-8，10]

D．[-8，8]

Answer 1

分析：先畫出可行域，即四邊形ABCD上及其內部，如圖．（4x+y）與（3x-y）相等的分界線x+2y=0，令z=4x+y時，點（x，y）在四邊形MNCD上及其內部，求得z范圍；令z=3x-y，點（x，y）在四邊形ABNM上及其內部（除AB邊）求得z范圍，將這2個范圍取并集可得答案．

解答：解：當4x+y≥3x-y時，可得x+2y≥0．
則原題可轉化為：
①當

|x|≤2 |y|≤2 x+2y≥0

，Z=4x+y，
作出不等式組所表示的平面區域如圖所示的陰影部分的MDCN，
作直線l₀：4x+y=0然后把直線l₀向可行域平移，則可知直線平移到C（2，2）時Z_max=10，
平移到點N（-2，1）時Z_min=-6
此時有-6≤z≤10．
②

|x|≤2 |y|≤2 x+2y＜0

，Z=3x-y，
作出不等式組所表示的平面區域如圖所示的ABNM，
作直線l₀：3x-y=0，然后把直線3x-y=0向可行域平移，
則可知直線平移到M（-2，1）時Z_min=-7，平移到點B（2，-2）時，Z_max=8，此時有-7≤z≤8
綜上可得，-7≤Z≤10．
故選A．

點評：本小題主要考查分段函數的應用、簡單線性規劃等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．