Question

如圖，在幾何體ABCDE中，AB＝AD＝2，AB⊥AD，AE⊥平面ABD，M為線段BD的中點，MC∥AE，且AE＝MC＝.

(1)求證：平面BCD⊥平面CDE；

(2)若N為線段DE的中點，求證：平面AMN∥平面BEC.

 

Answer 1

（1）見解析（2）見解析

【解析】(1)證明：∵AB＝AD＝2，AB⊥AD，M為線段BD的中點，

∴AM＝BD＝，AM⊥BD，

∵AE＝MC＝，

∴AE＝MC＝BD＝，

∴BC⊥CD，BD⊥CM.

∵AE⊥平面ABD，MC∥AE，∴MC⊥平面ABD，

∴MC⊥AM，∴AM⊥平面CBD.

又MC∥AE，AE＝MC＝，

∴四邊形AMCE為平行四邊形，∴EC∥AM，

∴EC⊥平面CBD，∴BC⊥EC，

∵EC∩CD＝C，

∴BC⊥平面CDE.

∵BC?平面BCD，∴平面BCD⊥平面CDE.

(2)∵M為BD的中點，N為DE的中點，

∴MN∥BE.

由(1)知EC∥AM且AM∩MN＝M，

又BE∩EC＝E，

∴平面AMN∥平面BEC.