Question

已知拋物線C₁的頂點在坐標原點，它的準線經過雙曲線C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1的一個焦點F₁且垂直于C₂的兩個焦點所在的軸，若拋物線C₁與雙曲線C₂的一個交點是M(

3

2

，

6

)．
（1）求拋物線C₁的方程及其焦點F的坐標；
（2）求雙曲線C₂的方程．

Answer 1

分析：（1）先設拋物線C₁的方程再把點M(

3

2

，

6

)代入方程即可求出拋物線C₁的方程及其焦點F的坐標；
（2）解一：先利用拋物線的準線經過雙曲線一個焦點F₁求出對應焦點坐標和c，再利用點M(

3

2

，

6

)是雙曲線上的點，代入雙曲線定義2a=|MF₁-MF₂|中求出a就可求出雙曲線C₂的方程．
解二：先利用拋物線的準線經過雙曲線一個焦點F₁求出對應焦點坐標和c，再利用點M(

3

2

，

6

)是雙曲線上的點適合雙曲線方程以及a²+b²=c²，求出a²和b²就可求出雙曲線C₂的方程．

解答：解：解一：（1）由題意可設拋物線C₁的方程為y²=2px．（2分）
把M(

3

2

，

6

)代入方程為y²=2px，得p=2（4分）
因此，拋物線C₁的方程為y²=4x．（5分）
于是焦點F（1，0）（6分）
（2）拋物線C₁的準線方程為y=-1，
所以，F₁（-1，0）（7分）
而雙曲線C₂的另一個焦點為F（1，0），于是2a=|MF1-MF|=|

7

2

-

5

2

|=1
因此，a=

1

2

（9分）
又因為c=1，所以b2=c2-a2=

3

4

．
于是，雙曲線C₂的方程為

x2

1 4

-

y2

3 4

=1．（12分）
解二：（1）同上（6分）
（2）拋物線C₁的準線方程為y=-1，
所以，F₁（-1，0）
而雙曲線C₂的另一個焦點為F（1，0），
∵點M(

3

2

，

6

)在雙曲線上，∴

9 4 a2 - 6 b2 =1 a2+b2=1

∴

9

4a2

-

6

1-a2

=1
∴4a⁴-37a²+9=0
∴a²=9（舍去）或a2=

1

4

，從而b2=

3

4

∴雙曲線方程為

x2

1 4

-

y2

3 4

=1（12分）

點評：本題是對拋物線和雙曲線的綜合問題的考查．在求拋物線和雙曲線的標準方程時，一定要看清條件，分析出焦點所在位置在設方程．