Question

若函數f(x)=

1

3

x3-

1

2

ax2+(a-1)x+1在區間（1，4）內為減函數，在區間（6，+∞）為增函數，則實數a的取值范圍是（　�。�

A．（-∞，2]

B．[5，7]

C．[4，6]

D．（-∞，5]∪[7，+∞）

Answer 1

分析：求出原函數的導函數，求得導函數的零點1，a-1，然后分1與a-1的大小分析導函數在不同區間內的符號，從而得到原函數在不同區間內的單調性，最后借助于已知條件得到a-1與4和6的關系，則答案可求．

解答：解：由函數f(x)=

1

3

x3-

1

2

ax2+(a-1)x+1，
得f′（x）=x²-ax+a-1．
令f′（x）=0，解得x=1或x=a-1．
當a-1≤1，即a≤2時，f′（x）在（1，+∞）上大于0，函數f（x）在（1，+∞）上為增函數，不合題意；
當a-1＞1，即a＞2時，f′（x）在（-∞，1）上大于0，函數f（x）在（-∞，1）上為增函數，
f′（x）在（1，a-1）內小于0，函數f（x）在（1，a-1）內為減函數，f′（x）在（a-1，+∞）內大于0，
函數f（x）在（a-1，+∞）上為增函數．
依題意應有：
當x∈（1，4）時，f′（x）＜0，
當x∈（6，+∞）時，f′（x）＞0．
∴4≤a-1≤6，解得5≤a≤7．
∴a的取值范圍是[5，7]．
故選：B．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性，考查了分類討論的數學思想方法，采用了逆向思維方法，解答的關鍵是對端點值的取舍，是中檔題．