Question

已知函數f（x）=ln（2+3x）-

3

2

x²．
（1）求函數y=f（x）的極大值；
（2）令g（x）=f（x）+

3

2

x²+（m-1）x（m為實常數），試判斷函數g（x）的單調性；
（3）若對任意x∈[

1

6

，

1

3

]，不等式|a-lnx|+ln[f′（x）+3x]＞0均成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出函數的導函數，由導函數的零點把定義域分段，判斷出函數在各區間段內的單調性，從而判出函數的極值點并求出極值；
（2）把函數f（x）的解析式代入后求導，然后對m進行分類，根據m的不同范圍分析導函數在不同區間內的符號，從而得到函數g（x）的單調區間；
（3）把函數f（x）的導函數代入不等式|a-lnx|+ln[f′（x）+3x]＞0的左側，根據給出的x的范圍得到ln[f′（x）+3x]恒大于等于0，而|a-lnx|恒大于等于0，所以只需把使兩者同時為0的a值排除即可．

解答：解：（1）∵f（x）=ln（2+3x）-

3

2

x²，∴函數y=f（x）的定義域為（-

2

3

，+∞）．
由f′(x)=

3

3x+2

-3x=

3-9x2-6x

3x+2

=-

9(x+1)(x- 1 3 )

3x+2

=0，得x=

1

3

，
當x∈(-

2

3

，

1

3

)時，f^′（x）＞0，當x∈(

1

3

，+∞)時，f^′（x）＜0．
∴y=f（x）在(-

2

3

，

1

2

]上為增函數，在[

1

3

，+∞)上為減函數，
∴函數f（x）的極大值為f(

1

3

)=ln(2+3×

1

3

)-

3

2

×(

1

3

)2=ln3-

1

6

．
（2）由g（x）=f（x）+

3

2

x²+（m-1）x，
得g（x）=ln（2+3x）+（m-1）x  （x＞-

2

3

），
所以g′(x)=

3

2+3x

+m-1=

3(m-1)x+2m+1

2+3x

．
①當m-1=0，即m=1時，g′(x)=

3

2+3x

＞0，∴g（x）在(-

2

3

，+∞)上為增函數；
②當m-1≠0，即m≠1時，g′(x)=

3(m-1)x+2m+1

2+3x

=

3(m-1)[x+ 2m+1 3(m-1) ]

2+3x

．
由g^′（x）=0，得：x=-

2m+1

3(m-1)

，∵-

2m+1

3(m-1)

-(-

2

3

)=-

1

m-1

，
∴1°若m＞1，則-

1

m-1

＜0，-

2m+1

3(m-1)

＜-

2

3

，∴x＞-

2

3

時，g^′（x）＞0，∴g（x）在(-

2

3

，+∞)上為增函數；
2°若m＜1，則-

2m+1

3(m-1)

＞-

2

3

，∴當x∈(-

2

3

，-

2m+1

3(m-1)

)時，g^′（x）＞0；當x∈(-

2m+1

3(m-1)

，+∞)時，
g^′（x）＜0，∴g（x）在(-

2

3

，-

2m+1

3(m-1)

]上為增函數，在[-

2m+1

3(m-1)

，+∞)上為減函數．
綜上可知，當m≥1時，g（x）在(-

2

3

，+∞)上為增函數；
當m＜1時，g（x）在(-

2

3

，-

2m+1

3(m-1)

]上為增函數，在[-

2m+1

3(m-1)

，+∞)上為減函數．
（3）∵f′(x)=

3

2+3x

-3x，
由|a-lnx|+ln[f^′（x）+3x]＞0，得：|a-lnx|+ln

3

2+3x

＞0，
∵x∈[

1

6

，

1

3

]，∴0≤ln

3

2+3x

≤ln

6

5

，而|a-lnx|≥0，
∴要對任意x∈[

1

6

，

1

3

]，不等式|a-lnx|+ln[f^′（x）+3x]＞0均成立，
須ln

3

2+3x

與|a-lnx|不同時為0．
因當且僅當x=

1

3

時，ln

3

2+3x

=0，所以為滿足題意必有|a-ln

1

3

|≠0，即a≠ln

1

3

．
故對任意x∈[

1

6

，

1

3

]，不等式|a-lnx|+ln[f′（x）+3x]＞0均成立的實數a的取值范圍是{a|a≠ln

1

3

}．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性，考查了函數在某點取得極值的條件，考查了函數恒成立問題，連續函數在定義域內某點的兩側的單調性不同，則該點是函數的極值點，此題是中檔題．