Question

（本小題滿分13分）
正△的邊長為4，是邊上的高，分別是和邊的中點，現將△沿翻折成直二面角．

（1）試判斷直線與平面的位置關系，并說明理由；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在線段上是否存在一點，使？證明你的結論．

Answer 1

（1）略
（2）
（3）在線段BC上存在點P使AP⊥DE

（本小題滿分13分）
解：法一：（1）如圖：在△ABC中，由E、F分別是AC、BC中點，
得EF//AB，又AB平面DEF，EF平面DEF．   

∴AB∥平面DEF． 
（2）∵AD⊥CD，BD⊥CD  
∴∠ADB是二面角A—CD—B的平面角
∴AD⊥BD  ∴AD⊥平面BCD
取CD的中點M，這時EM∥AD  ∴EM⊥平面BCD
過M作MN⊥DF于點N，連結EN，則EN⊥DF
∴∠MNE是二面角E—DF—C的平面角…………6分
在Rt△EMN中，EM=1，MN=
∴tan∠MNE=，cos∠MNE=   ………………………8分
（3）在線段BC上存在點P，使AP⊥DE……………………10分
證明如下：在線段BC上取點P。使，過P作PQ⊥CD與點Q，

∴PQ⊥平面ACD     ∵在等邊△ADE中，∠DAQ=30°
∴AQ⊥DE∴AP⊥DE…………………………13分
法二：（2）以點D為坐標原點，直線DB、DC為x軸、y軸，建立空間直角坐標系，
則A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，……4分
平面CDF的法向量為設平面EDF的法向量為
則即
所以二面角E—DF—C的余弦值為 …8分
（3）在平面坐標系xDy中，直線BC的方程為
設
…………12分
所以在線段BC上存在點P，使AP⊥DE       ………………14分
另解：設
又     …………………12分

把
所以在線段BC上存在點P使AP⊥DE  ……………．13分