Question

已知函數f（x）=

2x-1(x≤0) f(x-1)+1(x＞0)

，把函數g（x）=f（x）-x的零點按從小到的順序排列成一個數列，則該數列的通項公式為

 

．

Answer 1

考點：分段函數的應用,數列的概念及簡單表示法

專題：函數的性質及應用,等差數列與等比數列

分析：根據函數的零點的定義，構造兩函數圖象的交點，交點的橫坐標即為函數的零點，再通過數列及通項公式的概念得所求的解．

解答：解：當x∈（-∞，0]時，由g（x）=f（x）-x=2^x-1-x=0，得2^x=x+1．令y=2^x，y=x+1．在同一個坐標系內作出兩函數在區間（-∞，0]上的圖象，由圖象易知交點為（0，1），故得到函數的零點為x=0．
當x∈（0，1]時，x-1∈（-1，0]，f（x）=f（x-1）+1=2^x-1-1+1=2^x-1，由g（x）=f（x）-x=2^x-1-x=0，得2^x-1=x．令y=2^x-1，y=x．在同一個坐標系內作出兩函數在區間（0，1]上的圖象，由圖象易知交點為（1，1），故得到函數的零點為x=1．
當x∈（1，2]時，x-1∈（0，1]，f（x）=f（x-1）+1=2^x-1-1+1=2^x-2+1，由g（x）=f（x）-x=2^x-2+1-x=0，得2^x-2=x-1．令y=2^x-2，y=x-1．在同一個坐標系內作出兩函數在區間（1，2]上的圖象，由圖象易知交點為（2，1），故得到函數的零點為x=2．
依此類推，當x∈（2，3]，x∈（3，4]，…，x∈（n，n+1]時，構造的兩函數圖象的交點依次為
（3，1），（4，1），…，（n+1，1），得對應的零點分別為x=3，x=4，…，x=n+1．
故所有的零點從小到大依次排列為0，1，2，…，n+1．其對應的數列的通項公式為a_n=n-1．
故答案為：a_n=n-1．

點評：本題主要考查了函數零點的概念及零點的求法、數列的概念及簡單表示；培養學生觀察、分析、歸納、推理的能力；解題中使用了數形結合及分類討論的數學方法和數學思想．