Question

某商場(chǎng)準(zhǔn)備在五一勞動(dòng)節(jié)期間舉行促銷活動(dòng)，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，該商場(chǎng)決定從3種服裝商品、2種家電商品、4種日用商品中，選出3種商品進(jìn)行促銷活動(dòng).
（Ⅰ）試求選出的3種商品中至少有一種日用商品的概率；
（Ⅱ）商場(chǎng)對(duì)選出的A商品采用的促銷方案是有獎(jiǎng)銷售，即在該商品現(xiàn)價(jià)的基礎(chǔ)上將價(jià)格提高90元，同時(shí)允許顧客有3次抽獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)，若中獎(jiǎng)，則每次中獎(jiǎng)都可獲得一定數(shù)額的獎(jiǎng)金.假設(shè)顧客每次抽獎(jiǎng)時(shí)獲獎(jiǎng)與否是等可能的，請(qǐng)問(wèn)：商場(chǎng)應(yīng)將中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金數(shù)額最高定為多少元，才能使促銷方案對(duì)自己有利？

Answer 1

（Ⅰ）P=1-.
（Ⅱ）要使促銷方案對(duì)商場(chǎng)有利，應(yīng)使顧客獲獎(jiǎng)獎(jiǎng)金數(shù)的期望值不大于商場(chǎng)的提價(jià)數(shù)額，因此應(yīng)有1.5x≤90,所以x≤60，故商場(chǎng)應(yīng)將中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金數(shù)額最高定為60元，才能使促銷方案對(duì)自己有利.

解析試題分析：（Ⅰ）從3種服裝商品、2種家電商品、4種日用商品中，選出3種商品，一共可以有種不同的選法. 選出的3種商品中，沒(méi)有日用商品的選法有種，所以選出的3種商品中至少有一種日用商品的概率為P=1-=1-.
（Ⅱ）假設(shè)商場(chǎng)將中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金數(shù)額定為x元，則顧客在三次抽獎(jiǎng)中所獲得的獎(jiǎng)金總額是一隨機(jī)變量ξ,其所有可能的取值為，0，x,2x,3x.
ξ=0時(shí)表示顧客在三次抽獎(jiǎng)中都沒(méi)有獲獎(jiǎng)，所以P（ξ=0）=()³=,
同理可得P(ξ=x)=()()²=,
P(ξ=2x)=()²()=,P(ξ=3x)=()³=.
于是顧客在三次抽獎(jiǎng)中所獲得的獎(jiǎng)金總額的期望是
Eξ=0×+x·+2x·+3x·=1.5x.
要使促銷方案對(duì)商場(chǎng)有利，應(yīng)使顧客獲獎(jiǎng)獎(jiǎng)金數(shù)的期望值不大于商場(chǎng)的提價(jià)數(shù)額，因此應(yīng)有1.5x≤90,所以x≤60，故商場(chǎng)應(yīng)將中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金數(shù)額最高定為60元，才能使促銷方案對(duì)自己有利.
考點(diǎn)：古典概型概率的計(jì)算，互斥（對(duì)立）事件的概率計(jì)算，數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用。
點(diǎn)評(píng)：中檔題，本題綜合性較強(qiáng)，綜合考查古典概型概率的計(jì)算，互斥（對(duì)立）事件的概率計(jì)算，數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用，及利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。求出顧客在三次抽獎(jiǎng)中所獲得的獎(jiǎng)金總額的期望值，與商場(chǎng)的提價(jià)數(shù)額比較，即可求得結(jié)論。