Question

 本題共有2個小題，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分．

已知長方體，，點M是棱的中點．

（1）試用反證法證明直線是異面直線；

（2）求直線所成的角（結果用反三角函數(shù)值表示）．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 本題共有2個小題，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分．

證明  (1)(反證法)假設直線與不是異面直線. ……………………………1分

設直線與都在平面上，則.………………………3分

因此，有不共線的三個公共點，即

重合).又長方體的相鄰兩個面不重合，這是矛盾，于是，假設不成立. …………………………………………………………6分

　　所以直線與是異面直線. 　　　　　　　　　　   …………………7分

解  (2)按如圖所示建立空間直角坐標系，可得有關點的坐標為D(0，0，0)、

A(4，0，0)、B(4，2，0)，C(0，2，0)，(4，0，4)，(4，2，4)，(0，2，4)，

(0，0，4)．于是，M(0，1，4)，．……9分

　　設平面的法向量為，則

，即．取．   …   11分

　　所以平面的一個法向量為．

記直線為，于是，

，．  ………………………13分

　　所以，直線為＝．…………………14分