Question

（2013•崇明縣二模）某工廠生產一種儀器的元件，由于受生產能力和技術水平等因素的限制，會產生較多次品，根據經驗知道，次品數p（萬件）與日產量x（萬件）之間滿足關系：p=

x2 6 ，(1≤x＜4) x+ 3 x - 25 12 ，(x≥4)

．已知每生產l萬件合格的元件可以盈利20萬元，但每產生l萬件次品將虧損10萬元．（實際利潤=合格產品的盈利-生產次品的虧損）
（1）試將該工廠每天生產這種元件所獲得的實際利潤T（萬元） 表示為日產量x（萬件）的函數；
（2）當工廠將這種儀器的元件的日產量x（萬件） 定為多少時獲得的利潤最大，最大利潤為多少？

Answer 1

分析：（1）根據題目條件寫出在x的不同范圍內的合格的元件間數，然后由實際利潤=合格產品的盈利-生產次品的虧損將生產這種元件所獲得的實際利潤T（萬元） 表示為日產量x（萬件）的函數；
（2）分別利用配方法和函數的單調性求函數在連段內的最值，最后取兩段的最大之中的最大者．

解答：解：（1）當1≤x＜4時，合格的元件數為x-

x2

6

（萬件），
利潤T=20(x-

x2

6

)-10×

x2

6

=20x-5x2（萬元）；
當x≥4時，合格的元件數為x-(x+

3

x

-

25

12

)=

25

12

-

3

x

（萬件），
利潤T=20(

25

12

-

3

x

)-10(x+

3

x

-

25

12

)=

125

2

-

90

x

-10x（萬元），
綜上，該工廠每天生產這種元件所獲得的利潤為T=

20x-5x2，1≤x＜4 125 2 - 90 x -10x，x≥4

．
（2）當1≤x＜4時，T=20x-5x²=-5（x-2）²+20
∴當x=2（萬件）時，利潤T的最大值20（萬元）；
當x≥4時，T=

125

2

-

90

x

-10x=

125

2

-(10x+

90

x

)
令y=10x+

90

x

，則y′=10-

90

x2

=

10(x+3)(x-3)

x2

，
當x∈[4，+∞）時，y^′＞0，所以y=10x+

90

x

在[4，+∞）上是單調遞增，
所以函數T（x）在[4，+∞）上是減函數，
則當x=4時，利潤T的最大值0．      
綜上所述，當日產量定為2（萬件）時，工廠可獲得最大利潤20萬元．
答：當工廠將這種儀器的元件的日產量x（萬件） 定為2（萬件）時獲得的利潤最大，最大利潤為20萬元．

點評：本題考查了函數模型的選擇及應用，考查了配方法及利用導數研究函數的最值，注意分段函數的最值要分段求，此題是中檔題．