Question

在平面直角坐標系中，已知A（-2，0），B（2，0），P為平面內一動點，直線PA，PB的斜率之積為-

1

4

，記動點P的軌跡為C．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）若點D（0，2），點M，N是曲線C上的兩個動點，且

DM

=λ

DN

，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設P（x，y  ）由題意可得，KPA•KPB=

y

x+2

•

y

x-2

=-

1

4

，y≠0，整理可得點P得軌跡方程
（2）設過點D（0，2）得直線方程為y=kx+2
聯立方程

y=kx+2 x2+4y2=4

整理可得（1+4k²）x²+16kx+12=0，設M（x₁，y₁）N（x₂，y₂）
則△=（16k）²-4×（1+4k²）×12≥0可得k2≥

3

4

，x1+x2=-

16k

1+4k2

，x1x2=

12

1+4k2

（*）
由

DM

=λ

DN

可得，x₁=λx₂代入到（*）式整理可得

(1+λ)2

λ

=

64k2

3(1+4 k2)

=

64

3(4+ 1 k2 )

從而可求

解答：解：（1）設P（x，y  0，由題意可得，KPA•KPB=

y

x+2

•

y

x-2

=-

1

4

，y≠0
整理可得點P得軌跡方程為

x2

4

+y2=1（y≠0）
（2）設過點D（0，2）得直線方程為y=kx+2
聯立方程

y=kx+2 x2+4y2=4

整理可得（1+4k²）x²+16kx+12=0
設M（x₁，y₁）N（x₂，y₂）
則△=（16k）²-4×（1+4k²）×12≥0?k2≥

3

4

x1+x2=-

16k

1+4k2

，x1x2=

12

1+4k2

且

DM

=λ

DN

設M（x₁，y₁）N（x₂，y₂）
則△=（16k）²-4×（1+4k²）×12≥0?k2≥

3

4

x1+x2=-

16k

1+4k2

，x1x2=

12

1+4k2

（*）
由

DM

=λ

DN

可得，x₁=λx₂代入到（*）式整理可得

(1+λ)2

λ

=

64k2

3(1+4 k2)

=

64

3(4+ 1 k2 )

k2≥

3

4

可得4≤

(1+λ)2

λ

≤

16

3

，解可得

1

3

≤λ≤3且λ≠1
又因為直線MN過點（2，0），（-2，0），時λ= 

5

3

或λ=

3

5

所以可得，

1

3

≤λ≤3且λ≠1，λ≠

3

5

，λ≠  

5

3

點評：本題主要考查了曲線方程的求解，直線與曲線方程得相交關系的應用，解題得關鍵是根據已知轉化k與λ之間得關系，解（1）時容易漏掉y≠0得限制條件．