Question

16、已知函數f（x）=x²+ax，且對任意的實數x都有f（1+x）=f（1-x）成立．
（1）求實數a的值；
（2）利用單調性的定義證明函數f（x）在區間[1，+∞）上是增函數．

Answer 1

分析：（1）充分利用題中條件：“f （1+x）=f （1-x）”，代入計算結合兩式恒等即可求得實數 a的值．
（2）欲證明證明函數f（x）在區間[1，+∞）上是增函數，即要證明如果對于屬于[1，+∞）區間上的任意兩個自變量的值x₁、x₂，當x₁＜x₂時都有f（x₁）＜f（x₂）．那么就說f（x）在 這個區間上是增函數．

解答：解：（1）由f（1+x）=f（1-x）得，
（1+x）²+a（1+x）=（1-x）²+a（1-x），
整理得：（a+2）x=0，
由于對任意的x都成立，∴a=-2．
（2）根據（1）可知f（x）=x²-2x，下面證明函數f（x）在區間[1，+∞）上是增函數．
設x₁＞x₂≥1，則f（x₁）-f（x₂）=（x₁²-2x₁）-（x₂²-2x₂）
=（x₁²-x₂²）-2（x₁-x₂）
=（x₁-x₂）（x₁+x₂-2）
∵x₁＞x₂≥1，則x₁-x₂＞0，且x₁+x₂-2＞2-2=0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故函數f（x）在區間[1，+∞）上是增函數．

點評：本小題主要考查二次函數的性質、函數單調性的判斷與證明、不等式性質等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．屬于基礎題．函數的單調性也叫函數的增減性．函數的單調性是對某個區間而言的，它是一個局部概念．