Question

已知過點A(－1,0)的動直線l與圓C：x²＋(y－3)²＝4相交于P，Q兩點，M是PQ中點，l與直線m：x＋3y＋6＝0相交于N.

(1)求證：當l與m垂直時，l必過圓心C；

(2)當PQ＝2時，求直線l的方程；

(3)探索是否與直線l的傾斜角有關？若無關，請求出其值；若有關，請說明理由.

Answer 1

(1)∵l與m垂直，且k_m＝－，∴k_l＝3，故直線l的方程為y＝3(x＋1)，即3x－y＋3＝0.

∵圓心坐標(0,3)滿足直線l的方程，

∴當l與m垂直時，l必過圓心C.

(2)①當直線l與x軸垂直時，易知x＝－1符合題意.

②當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，

∵PQ＝2，∴CM＝＝1，

則由CM＝，得k＝，

∴直線l：4x－3y＋4＝0.

故直線l的方程為x＝－1或4x－3y＋4＝0.

(3)∵CM⊥MN，∴＝()·

＝·＋·＝·.

①當l與x軸垂直時，易得N(－1，－)，

則＝(0，－)，

又＝(1,3)，∴·＝·＝－5.

②當l的斜率存在時，設直線l的方程為y＝k(x＋1)，

則由，得N(，)，

則＝(，)，

∴·＝·＝＋＝－5.

綜上所述，·與直線l的傾斜角無關，且·＝－5.