Question

設f（x）是定義在（0，+∞）的可導函數，且不恒為0，記g_n（x）=

f(x)

n

(n∈N*)．若對定義域內的每一個x，總有g_n（x）＜0，則稱f（x）為“n階負函數”；若對定義域內的每一個x，總有[gn(x)]′≥0，則稱f（x）為“n階不減函數”（[gn(x)]′為函數g_n（x）的導函數）．
（1）若f（x）=

a

x3

-

1

x

-x（x＞0）既是“1階負函數”，又是“1階不減函數”，求實數a的取值范圍；
（2）對任給的“n階不減函數”f（x），如果存在常數c，使得f（x）＜c恒成立，試判斷f（x）是否為“n階負函數”？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據“n階負函數”的定義，f（x）=

a

x3

-

1

x

-x同除x，設為g₁（x）=

f(x)

x

=，將[g₁（x）]′≥0化簡整理，可得a≤

1

2

x2在（0，+∞）上恒成立，得到a≤0．代入g₁（x）表達式，可得g₁（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，由此可得滿足條件的實數a的取值范圍為（-∞，0]；
（2）分兩步：①根據“存在常數c，使得f（x）＜c恒成立”，結合反證法證出g_n（x）≤0對任意x∈（0，+∞）成立，從而得到f（x）≤0任意x∈（0，+∞）恒成立；②根據“n階不減函數”的性質，結合函數的單調性和不等式的性質證出方程f（x）=0無解．由以上兩條，即可得到所有滿足題設的f（x）都是“n階負函數”．

解答：解：（1）依題意，g₁（x）=

f(x)

x

=

a

x4

-

1

x2

-1在（0，+∞）上單調遞增，
故[g₁（x）]′=-

4a

x5

+

2

x3

≥0恒成立，得a≤

1

2

x²，…（2分）
因為x＞0，所以a≤0．                 …（4分）
而當a≤0時，g₁（x）=

a

x4

-

1

x2

-1＜0顯然在（0，+∞）恒成立，
所以a≤0．                            …（6分）
（2）①先證f（x）≤0：
若不存在正實數x₀，使得g_n（x₀）＞0，則g_n（x）≤0恒成立．  …（8分）
假設存在正實數x₀，使得g_n（x₀）＞0，則有f（x₀）＞0，
由題意，當x＞0時，g_n′（x）≥0，可得g_n（x）在（0，+∞）上單調遞增，
當x＞x₀時，

f(x)

xn

＞

f(x0)

x0n

恒成立，即f（x）＞

f(x0)

x0n

•xⁿ恒成立，
故必存在x₁＞x₀，使得f（x₁）＞

f(x0)

x0n

•x₁ⁿ＞m（其中m為任意常數），
這與f（x）＜c恒成立（即f（x）有上界）矛盾，故假設不成立，
所以當x＞0時，g_n（x）≤0，即f（x）≤0；        …（13分）
②再證f（x）=0無解：
假設存在正實數x₂，使得f（x₂）=0，
則對于任意x₃＞x₂＞0，有

f(x3)

x3n

＞

f(x2)

x2n

=0，即有f（x₃）＞0，
這與①矛盾，故假設不成立，
所以f（x）=0無解，
綜上得f（x）＜0，即g_n（x）＜0，
故所有滿足題設的f（x）都是“n階負函數”．        …（16分）

點評：本題給出“n階負函數”和“n階不減函數”的定義，討論了n階負函數”f（x）能成為“n階不減函數”的條件，著重考查了利用導數研究函數的單調性、反證法思想和不等式的性質等知識，屬于中檔題．