Question

已知橢圓C過點M(1，

6

2

)，F(-

2

，0)是橢圓的左焦點，P、Q是橢圓C上的兩個動點，且|PF|、|MF|、|QF|成等差數列．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）求證：線段PQ的垂直平分線經過一個定點A．

Answer 1

分析：（1）設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，由已知列出關于a，b的方程組，解之即得橢圓的標準方程為

x2

4

+

y2

2

=1；
（2）先設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），2|MF|=|PE|+|QF|，得出x₁+x₂=2，下面對x₁與x₂關系進行分類討論：①當x₁≠x₂時，②當x₁=x₂時，分別求得線段PQ的中垂線方程，看它是否經過一個定點A．

解答：解：（1）設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，由已知，
得

1 a2 + 6 4 b2 =1 a2-b2=2

，解得

a2=4 b2=2

所以橢圓的標準方程為

x2

4

+

y2

2

=1，
（2）證明：設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由橢圓的標準方程為

x2

4

+

y2

2

=1，
可知|PF|=

(x1+ 2 )2+ y 2 1

=

(x1+ 2 )2+2- x 2 1 2

=2+

2

2

x1
同理|OF|=2+

2

2

x2，|MF|=2+

2

2

，
∵2|MF|=|PE|+|QF|，∴2(2+

2

2

)=4+

2

2

(x1+x2)，∴x₁+x₂=2，
①當x₁≠x₂時，由

x 1 2 +2 y 2 1 =4 x 2 2 +2 y 2 2 =4

，得x₁²-x₂²+2（y₁²-y₂²）=0，
∴

y1-y2

x1-x2

=-

1

2

•

x1+x2

y1+y2

設線段PQ的中點為N（1，n），由kPQ

y1-y2

x1-x2

=-

1

2n

，
得線段PQ的中垂線方程為y-n=2n（x-1）
∴（2x-1）n-y=0，該直線恒過一定點A（

1

2

，0），
②當x₁=x₂時，P（1，-

6

2

），Q（1，

6

2

）或P（1，

6

2

），Q（1，-

6

2

）
線段PQ的中垂線是x軸，也過點A（

1

2

，0），
∴線段PQ的中垂線過點A（

1

2

，0）．

點評：直線與圓錐曲線聯系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現，主要涉及位置關系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等   突出考查了分類討論、函數與方程、等價轉化等數學思想方法，要求考生分析問題和解決問題的能力、計算能力較高，起到了拉開考生“檔次”，有利于選拔的功能．