Question

已知f (x)＝ax－ln(－x)，x∈(－e,0)，g(x)＝－，其中e是自然常數，a∈R．
（1）討論a＝－1時, f (x)的單調性、極值；
（2）求證：在（1）的條件下，|f (x)|＞g(x)＋；
（3）是否存在實數a，使f (x)的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，說明理由．

 

Answer 1

解：（1）∵f (x)＝－x－ln(－x)∴f ¢(x)＝－1－＝－
∴當－e≤x＜－1時，f ¢(x)＜0，此時f (x)為單調遞減
當－1＜x＜0時，f ¢(x)＞0，此時f (x)為單調遞增∴f (x)的極小值為f (－1)＝1
（2）∵f (x)的極小值，即f (x)在[－e,0)的最小值為1∴|f (x)|_min＝1   
令h(x)＝g(x)＋＝－＋  又∵h¢(x)＝，當－e≤x＜0時，h¢(x)≤0
∴h(x)在[－e,0)上單調遞減，∴h(x)_max＝h(－e)＝＋＜＋＝1＝|f (x)|_min
∴當x∈[－e,0)時，|f (x)|＞g(x)＋
（3）假設存在實數a，使f (x)＝ax－ln(－x)有最小值3，x∈[－e,0), f ¢(x)＝a－
①當a≥－時，由于x∈[－e,0)，則f ¢(x)＝a－≥0，∴函數f (x)是[－e,0)上的增函數∴f (x)_min＝f (－e)＝－ae－1＝3解得a＝－＜－（舍去）
②當a＜－時，則當－e≤x＜時，f ¢(x)＝a－＜0，此時f (x)是減函數
當＜x＜0時，f ¢(x)＝a－＞0，此時f (x)＝ax－ln(－x)是增函數
∴f (x)_min＝f ()＝1－ln＝3解得a＝－e²．