Question

如圖，已知橢圓焦點為F₁、F₂，雙曲線G：x²-y²=4，設P是雙曲線G上異于頂點的任一點，直線PF₁、PF₂與橢圓的交點分別為A、B和C、D．
（1）設直線PF₁、PF₂的斜率分別為k₁和k₂，求k₁•k₂的值；
（2）是否存在常數λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，試求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出點P的坐標，表示出斜率，利用P是雙曲線G上異于頂點的任一點，即可求得k₁•k₂的值；
（2）設出直線AB，CD的方程與橢圓方程聯立，求得相應弦長，利用|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，可得，從而問題得解．
解答：解：（1）設點P（x，y），x≠±2，那么，
∴
∵P是雙曲線G上異于頂點的任一點
∴x²-y²=4，
∴y²=x²-4，
∴k₁k₂=1
（2）設直線AB：y=k₁（x+2），k₁≠0
由方程組得
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則
由弦長公式得
同理設C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
由（1）k₁•k₂=1得，，代入得
∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，∴
則存在，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立．
點評：本題重點考查直線與圓錐曲線的綜合，解題的關鍵是直線與橢圓方程聯立，利用弦長公式，綜合性強．