Question

已知函數f(x)＝x²＋2ax＋3，x∈[－4,6]．
(1)當a＝－2時，求f(x)的最值；
(2)求實數a的取值范圍，使y＝f(x)在區間[－4,6]上是單調函數；
(3)當a＝1時，求f(|x|)的單調區間．

Answer 1

(1) f(x)的最小值是－1， f(x)的最大值是35.  (2) a≤－6或a≥4. (3) f(|x|)的單調遞增區間是(0,6]，單調遞減區間是[－6,0]．

解析試題分析：(1)當a＝－2時，f(x)＝x²－4x＋3＝(x－2)²－1，
由于x∈[－4,6]，
∴f(x)在[－4,2]上單調遞減，在[2,6]上單調遞增，      2分
∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，                        3分
又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.       4分
(2)由于函數f(x)的圖象開口向上，對稱軸是x＝－a，
所以要使f(x)在[－4,6]上是單調函數，
應有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.            6分
(3)當a＝1時，f(x)＝x²＋2x＋3，
∴f(|x|)＝x²＋2|x|＋3，此時定義域為x∈[－6,6]，        8分
且f(x)＝，                  10分
∴f(|x|)的單調遞增區間是(0,6]，單調遞減區間是[－6,0]．    12分
考點：本題考查了函數的單調性及最值
點評：一元二次函數的單調性與其對稱軸有關，故一元二次函數的最值問題往往利用其單調性求解