Question

已知首項為a（a≠0）的數列{a_n}的前n項和為S_n，，若對任意的正整數m、n，都有

Sn

Sm

=(

n

m

)2．
（Ⅰ）證明：數列{a_n}是等差數列；
（Ⅱ）若a=1，數列{b_n}的首項為b（b≠1），第n（n∈N^*，n≥2）項b_n是數列{a_n}的第b_n-1項，求證：數列|b_n-1|為等比數列；
（Ⅲ）若對（Ⅱ）中的數列{a_n}和{b_n}及任意正整數n，均有2an+b_n+11≥0成立，求實數b的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在

Sn

Sm

=(

n

m

)2中，取m=1，得

Sn

1

=n2，即S_n=n²a，所以a_n=S_n-S_n-1=n²a-（n-1）²a=（2n-1）a，由此能求出{a_n}是以a為首項，2a為公差的等差數列．
（Ⅱ）由a_n=2n-1，b_n=2b_n-1-1，知b_n-1=2（b_n-1-1），由此能夠證明|b_n-1|都給以b-1為首項，2為公比的等比數列．
（Ⅲ）由b_n-1=（b-1）•2^n-1，b_n=1+（b-1）•2^n-1，由題意得，不等式不承認真即b-1≥-

22n-1+12

2n-1

=-(2n+

24

2n

)恒成立．

解答：解：（Ⅰ）證明：在

Sn

Sm

=(

n

m

)2中，取m=1，得

Sn

1

=n2，即S_n=n²a，
當n≥2時，S_n-1=（n-1）²a，
∴a_n=S_n-S_n-1=n²a-（n-1）²a=（2n-1）a，
當n=1時，a₁=a也適合上式，
∴a_n=（2n-1）a，n∈N⁺，
∵a_n+1-a_n=2a，
∴{a_n}是以a為首項，2a為公差的等差數列．
（Ⅱ）證明：當a=1時，由（Ⅰ）可得a_n=2n-1，
∴b_n=2b_n-1-1，
即有b_n-1=2（b_n-1-1），
b₁-1=b-1≠0，
∴{b_n-1}是以b-1為首項，2為公比的等比數列．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，b_n-1=（b-1）•2^n-1，
∴b_n=1+（b-1）•2^n-1，
∴由題意得，不等式2^2n-1+（b-1）•2^n-1+12≥0對任意正整數n恒成立，
即b-1≥-

22n-1+12

2n-1

=-(2n+

24

2n

)恒成立．
設t=2ⁿ（t=2，4，8，…），則b-1＞-(t+

24

t

)恒成立，
對于函數y=x+

24

x

，
y′= 1-

24

x2

=

(x+2 6 )(x-2 6 )

x2

．
當x∈(-2

6

，2

6

)時，y′＜0，當x∈(-∞，-2

6

)和（2

6

，+∞）時，y′＞0，
∴函數y=x+

24

x

在(-2

6

，2

6

)上單調減，在(-∞，-2

6

)和（2

6

，+∞）上單調增．
又當x=4時，y=10；當x=8時，y=11，∴y=t+

24

t

的最小值是10．∴b-1≥[-(2n+

24

2n

)]min=-10．
即b≥-9，
∴實數b的最小值是-9．

點評：本題考查數列與函數的綜合應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件．