Question

在△ABC中，兩個定點A（-3，0）B（3，0），△ABC的垂心H（三角形三條高線的交點）是AB邊上高線CD的中點．
（1）求動點C的軌跡方程；
（2）斜率為2的直線l交動點C的軌跡于P、Q兩點，求△OPQ面積的最大值（O是坐標原點）．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出動點C的坐標，利用AH⊥BC，k_AH•k_BC=-1即可求解動點C的軌跡方程；
（2）通過斜率為2的直線l，設出直線方程，利用直線交動點C的軌跡于P、Q兩點，聯立直線與橢圓的方程組成方程組，求出弦長，利用點到直線的距離，表示△OPQ面積，利用基本不等式求出面積的最大值．
解答：解：（1）設動點C（x，y）則D（x，0）．因為H是CD的中點，故
因為AH⊥BC所以k_AH•k_BC=-1故
整理得動點C的軌跡方程
（2）設l：y=2x+m并代入得6x²+4mx+m²-18=0，
∵△=（4m）²-4×6×（m²-18）＞0
∴54-m²＞0  
 即，
 
又原點O到直線l的距離為
∴S_△OPQ=×××=≤          
當且僅當54-m²=m²即時等號成立，
故△OPQ面積的最大值為．
點評：本題考查曲線軌跡方程的求法，直線與圓錐曲線的關系，弦長公式的應用，點到直線的距離，三角形的面積公式與基本不等式的應用，考查計算能力，轉化思想的應用，注意軌跡方程中不滿足題意的點需要去掉．