Question

設復數β=x+yi（x、y∈R）與復平面上點P（x，y）對應．
（1）若β是關于t的一元二次方程t²-2t+m=0（m∈R）的一個虛根，且|β|=2|，求實數m的值．
（2）設復數β滿足條件|β+3|+（-1）ⁿ|β-3|=3a+（-1）ⁿa（其中n∈N^*，a∈(

3

2

，3)），當n為奇數時，動點P（x，y）的軌跡為C₁；當n為偶數時，動點P（x，y）的軌跡為C₂，且兩條曲線都經過點D(2，

2

)，求軌跡C₁與的C₂方程？

Answer 1

分析：（1）由實系數方程虛根成對，利用韋達定理直接求出m的值．
（2）方法一：分n為奇數和偶數，化出a的范圍，聯立雙曲線方程，求出a值，推出雙曲線方程即可．
方法二：由題意分a的奇偶數，聯立方程組，求出復數β，解出a，根據雙曲線的定義求出雙曲線方程．

解答：解：（1）β是方程的一個虛根，則

.

β

是方程的另一個虛根，
則 β•

.

β

=m=|β|2=4，所以m=4
（2）方法1：①當n為奇數時，|α+3|-|α-3|=2a，常數 a∈ (

3

2

 ， 3)），
軌跡C₁為雙曲線，其方程為

x2

a2

-

y2

9-a2

=1
②當n為偶數時，|α+3|+|α-3|=4a，常數 a∈ (

3

2

 ， 3)），
軌跡C₂為橢圓，其方程為

x2

4a2

+

y2

4a2-9

=1
依題意得方程組

4 4a2 + 2 4a2-9 =1 4 a2 - 2 9-a2 =1

⇒

4a4-45a2+99=0 a4-15a2+36=0

解得a²=3，
因為

3

2

＜a＜3，所以 a=

3

，
此時軌跡為C₁與C₂的方程分別是：

x2

3

-

y2

6

=1，

x2

12

+

y2

3

=1．
方法2：依題意得

|β+3|+|β-3|=4a |β+3|-|β-3|=2a

⇒

|β+3|=3a |β-3|=a

軌跡為C₁與C₂都經過點 D(2，

2

)，且點 D(2，

2

)對應的復數 β=2+

2

i，
代入上式得 a=

3

，
即 |β+3|-|β-3|=2

3

對應的軌跡C₁是雙曲線，方程為

x2

3

-

y2

6

=1．
|β+3|+|β-3|=4

3

對應的軌跡C₂是橢圓，方程為

x2

12

+

y2

3

=1．

點評：本題考查復數的基本概念，軌跡方程，直線與圓錐曲線的綜合問題，考查分類討論思想，轉化思想，是中檔題．