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已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=它（a＞b＞0）的短軸長為2，離心率為
2
2
．
（它）求橢圓C的方程；
（2）若過點M（2，0）的引斜率為k的直線與橢圓C相交于兩點G、H，設m為橢圓C上一點，且滿足
OG
+
OH
=t
Om
（O為坐標原點），當|
mG
-
mH
|＜
2
5
3
時，求實數t的取值范圍？
（3）∵橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=3（a＞b＞r）的短軸長為2，離心率為
2
2
，
∴b=3，
c
a
=
2
2
，
∵a2=b2+c2，
∴a=
2
，b=3，
∴橢圓C的方程為
x2
2
+y2=3…（3分）
（2）設G（x3，y3），H（x2，y2），
設直線y=k（x-2），聯立橢圓，可得（3+2k2）x2-8kx+8k2-2=r
△=（-8k）2-q（3+2k2）（8k2-2）＞r，得k2＜
3
2
，…（5分）
條件|
PG
-
PH
|＜
2
5
3
轉換一下就是|
GH
|＜
2
5
3
，
∵x3+x2=
8k
3+2k2
，x3x2=
8k2-2
3+2k2

根據弦長公式，
3+k2
•
(
8k
3+2k2
)2-q•
8k2-2
3+2k2
＜
2
5
3
，得到k2＞
3
q
．…（3分）
設P（x，y），則
∵
OG
+
OH
=t
OP
，
∴（x3+x2，y3+y2）=t（x，y），
∴x=
3
t
（x3+x2），y=
3
t
（y3+y2）
根據x3+x2=
8k
3+2k2
，x3x2=
8k2-2
3+2k2
，把x3，x2消成k，得P(
8k2
t(3+2k2)
，
-qk
t(3+2k2)
)（9分）
然后代入橢圓，得到關系式t2=
3qk2
3+2k2
，…（33分）
∴t2=
3q
3
k2
+2
，
∵
3
q
＜k2＜
3
2
，
∴實數t的取值范圍為(-2，-
2
q
3
)∪(
2
q
3
，2)…（33分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，圓的直徑，是延長線上一點，，割線交圓于點,，過點作的垂線，交直線于點，交直線于點.
（1）求證：;
（2）求的值.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，是外一點，是切線，為切點，割線與相交于，，為的中點，的延長線交于點．證明：
（1）；
（2）

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，F1，F2分別是橢圓C的左、右焦點，M是橢圓短軸的一個端點，過F1的直線l與橢圓交于A，B兩點，△MF1F2的面積為4，△ABF2的周長為8
2

（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設點Q的坐標為（1，0），是否存在橢圓上的點P及以Q為圓心的一個圓，使得該圓與直線PF1，PF2都相切，如存在，求出P點坐標及圓的方程，如不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

直線y=kx+2與雙曲線x2-y2=2有且只有一個交點，那么實數k的值是（　　）
A．k=±1B．k=±
3
C．k=±1或k=±
3
D．k=±
2

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

拋物線y2=4x上一定點P（x0，2），直線l的一個方向向量
d
=(1，-1)
（1）若直線l過P，求直線l的方程；
（2）若直線l不過P，且直線l與拋物線交于A，B兩點，設直線PA，PB的斜率為kPA，kPB，求kPA+kPB的值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的四個頂點為A1，A2，B1，B2，兩焦點為F1，F2，若以F1F2為直徑的圓內切于菱形A1B1A2B2，切點分別為A，B，C，D，則菱形A1B1A2B2的面積S1與矩形ABCD的面積S2的比值
S1
S2
=（　　）
A．
5
+1
2
B．2
5
-2		C．
5
+2
2
D．
5
-1
2

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

給定橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，稱圓心在坐標原點O，半徑為
a2+b2
的圓是橢圓C的“伴隨圓”，已知橢圓C的兩個焦點分別是F1(-
2
，0)，F2(
2
，0)．
（1）若橢圓C上一動點M1滿足|
M1F1
|+|
M1F2
|=4，求橢圓C及其“伴隨圓”的方程；
（2）在（1）的條件下，過點P（0，t）（t＜0）作直線l與橢圓C只有一個交點，且截橢圓C的“伴隨圓”所得弦長為2
3
，求P點的坐標；
（3）已知m+n=-
cosθ
sinθ
，mn=-
3
sinθ
(m≠n，θ∈（0，π）），是否存在a，b，使橢圓C的“伴隨圓”上的點到過兩點（m，m2），（n，n2）的直線的最短距離dmin=
a2+b2-b
．若存在，求出a，b的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

（幾何證明選講選做題）如圖3，是圓的切線，切點為，交圓于、兩點，且，，則的長為             .

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同步練習冊答案