Question

（2012•武昌區模擬）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，AB=

2

AD，E是線段PD上的點，F是線段AB上的點，且

PE

ED

=

BF

FA

=λ(λ＞0)．
（Ⅰ）當λ=1時，證明DF⊥平面PAC；
（Ⅱ）是否存在實數λ，使異面直線EF與CD所成的角為60°？若存在，試求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以A為坐標原點，建立空間直角坐標系，用坐標表示向量，證明

DF

•

AC

=0，

DF

•

AP

=0，即可證得DF⊥平面PAC；
（Ⅱ）設PA=AD=1，則AB=PD=

2

，確定

FE

=(-

2

1+λ

，

λ

1+λ

，

1

1+λ

)，

CD

=(-

2

，0，0)，利用向量的夾角公式，及異面直線EF與CD所成的角為60°，建立方程即可得到結論．

解答：（Ⅰ）證明：以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系．
當λ=1時，則F為AB的中點，設PA=AD=1，則AB=PD=

2

，則
A（0，0，0），C（

2

，1，0），P（0，0，1），D（0，1，0），F（

2

2

，0，0）．
∴

DF

=(

2

2

，-1，0)，

AC

=(

2

，1，0)，

AP

=（0，0，1）．
∴

DF

•

AC

=0，

DF

•

AP

=0，
∴

DF

⊥

AC

，

DF

⊥

AP

．
∵AC∩AP=A
∴DF⊥平面PAC；
（Ⅱ）解：設PA=AD=1，則AB=PD=

2

，則A（0，0，0），C（

2

，1，0），P（0，0，1），D（0，1，0），．
∵

PE

ED

=

BF

FA

=λ(λ＞0)，
∴F（

2

λ+1

，0，0），E（0，

λ

1+λ

，

1

1+λ

）．
∴

FE

=(-

2

1+λ

，

λ

1+λ

，

1

1+λ

)，

CD

=(-

2

，0，0)，∴

FE

•

CD

=

2

1+λ

．
依題意，有

1

2

=cos＜

FE

，

CD

＞=

FE • CD

| FE || CD |

，
∵λ＞0，∴

1

2

=

2

λ2+3

，∴λ=

5

．
∴存在實數λ=

5

，使異面直線EF與CD所成的角為60°．

點評：本題考查線面垂直，考查線線角，考查利用空間向量解決立體幾何問題，關鍵是建立坐標系，用坐標表示點與向量．