Question

過點M（2，4）作兩條互相垂直的直線，分別交x、y軸的正半軸于點A、B，若四邊形OAMB的面積被直線AB平分，求直線AB的方程.

Answer 1

思路分析：命題有兩種設方程的方案：①設PA、PB的點斜式方程，然后求出k；②設AB的截距式方程.經過估算，選第②種方案更好.

解：設AB的方程為=1(a＞0,b＞0),

∴A(a,0),B(0,b).

∵⊥，

∴(a-2)(-2)+(-4)(b-4)=0a=10-2b.

∵a＞0,∴0＜b＜5.

∵AB方程的一般式為bx+ay-ab=0,

∴點M到AB的距離d=.

∴△MAB的面積

S₁=d|AB|=|2b+4a-ab|

=|2b+4(10-2b)-b(10-2b)|

=|b²-8b+20|=b²-8b+20(∵b²-8b+20＞0).

而△OAB的面積S₂=ab=5b-b²,∵直線AB平分四邊形OAMB的面積，∴S₁=S₂.∴2b²-13b+20=0b=或b=4.∴a=5或a=2.故所求直線AB的方程為x+2y-5=0或2x+y-4=0.