Question

已知點是F拋物線C 1：x2=4y與橢圓C 2：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)的公共焦點，且橢圓的離心率為

1

2

（1）求橢圓的方程；
（2）過拋物線上一點P，作拋物線的切線l，切點P在第一象限，如圖，設切線l與橢圓相交于不同的兩點A、B，記直線OP，FA，FB的斜率分別為k，k₁，k₂（其中O為坐標原點），若k 1+k2=

20

3

k，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）利用拋物線與橢圓有公共焦點，且橢圓的離心率為

1

2

，建立方程組，求出幾何量，即可求橢圓的方程；
（2）設出切線方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理及斜率公式，即可求得結論．

解答：解：（1）∵點F的坐標為（0，1），則有

a2-b2=1 a2-b2 a = 1 2

∴a=2，b=

3

∴橢圓方程為

y2

4

+

x2

3

=1；
（2）設P（2t，t²），由y2=

x

2

，得切線的斜率為t，從而切線l的方程為y=tx-t²，
直線l與橢圓方程聯立，得（3t²+4）x²-6t³x+3t⁴-12=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

6t3

3t2+4

，x₁x₂=

3t4-12

3t2+4

∴k₁+k₂=

y1-1

x1

+

y2-1

x2

=2t-

2t3(t2+1)

t4-4

∵k=

t2

2t

=

t

2

∴2t-

2t3(t2+1)

t4-4

=

10t

3

∵t＞0，∴5t⁴+3t²-8=0
∴t²=1
∴t=1
∴P的坐標為（2，1）．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．