Question

已知公比為q（0＜q＜1）的無窮等比數列{a_n}各項的和為9，無窮等比數列{a_n²}各項的和為

81

5

．
（1）求數列{a_n}的首項a₁和公比q；
（2）對給定的k（k=1，2，3，…，n），設數列T^（k）是首項為a_k，公差為2a_k-1的等差數列，求數列T^（2）的通項公式及前10項的和．

Answer 1

分析：（1）根據所給的兩個無窮等比遞縮數列，利用教材中所給的各項之和的公式寫出關于首項和公比的方程，解方程即可．
（2）根據第一問做出的結果，寫出數列的首項和公差，進而寫出數列的通項，求出數列的前10項之和，得到結果．

解答：解：（1）依題意可知，

a1 1-q =9 a12 1-q2 = 81 5

?

a1=3 q= 2 3

（2）由（1）知，
數列T^（2）的首項為t₁=a₂=2，公差d=2a₂-1=3
T^（2）=2+（n-1）×3=3n-1（n∈N^*）
S10=10×2+

1

2

×10×9×3=155，
即數列T^（2）的前10項之和為155．

點評：本題是一個數列求和的問題，這種問題在解題時注意看清數列的特征，看出數列是一個特殊數列，可以應用數列的求和公式做出結果，這是求數列的和的題目中比較簡單的問題．