Question

（08年豐臺區統一練習一理）（14分）

已知函數，數列是公差為d的等差數列，是公比為q

（）的等比數列.若

     (Ⅰ)求數列，的通項公式；     

(Ⅱ)設數列對任意自然數n均有，求 的值；

(Ⅲ)試比較與的大小.

Answer 1

解析：(Ⅰ) ∵ ， ∴ .

即 ， 解得 d =2.

∴ .  ∴ . ………………………………… 2分

∵ , ∴ .

∵ ,  ∴ .

又， ∴ .………………………………………… 4分

(Ⅱ) 由題設知 ， ∴.

     當時, ,

  ,

     兩式相減,得.

     ∴  (適合).…………………………… 7分

     設T=,

∴

           兩式相減 ,得

             

              .

              ∴ .………………………………………………… 9分

(Ⅲ) ,   .

         現只須比較與的大小.

         當n=1時, ；

         當n=2時, ；

         當n=3時, ；

         當n=4時, .

         猜想時，.

         用數學歸納法證明

         (1)當n=2時，左邊，右邊，成立.

         (2)假設當n=k時, 不等式成立，即.

            當n=k+1時,

.

             即當n=k+1時，不等式也成立.

             由（1）（2），可知時，都成立.

             所以 （當且僅當n＝1時，等號成立）

             所以.即. …………………………… 14分