Question

已知橢圓C₁：

x2

m+2

-

y2

n

=1與雙曲線C₂：

x2

m

+

y2

n

=1有相同的焦點，則橢圓C₁的離心率e的取值范圍為（　　）

• A、（

  2

  2

  ，1）
• B、（0，

  2

  2

  ）
• C、（0，1）
• D、（0，

  1

  2

  ）

Answer 1

分析：由橢圓C₁：

x2

m+2

-

y2

n

=1與雙曲線C₂：

x2

m

+

y2

n

=1有相同的焦點，可得m＞0，n＜0．因此m+2-（-n）=m-n，解得n=-1．于是橢圓C₁的離心率e=

1- -(-1) m+2

=

1- 1 m+2

，利用不等式的性質和e＜1即可得出．

解答：解：∵橢圓C₁：

x2

m+2

-

y2

n

=1與雙曲線C₂：

x2

m

+

y2

n

=1有相同的焦點，
∴m＞0，n＜0．
∴m+2-（-n）=m-n，解得n=-1．
∴橢圓C₁的離心率e=

1- -(-1) m+2

=

1- 1 m+2

＞

1- 1 2

=

2

2

，又e＜1，
∴橢圓C₁的離心率e的取值范圍為(

2

2

，1)．
故選：A．

點評：本題考查了橢圓與雙曲線的標準方程及其性質、不等式的性質，屬于基礎題．