Question

已知一個圓的圓心為坐標原點，半徑為5，從這個圓上任一點p向x軸作垂線PP’，垂足為P’，M為線段PP’上一點，且滿足：

MP

=4

PM

（1）求動點M的軌跡C的方程；
（2）若過電（3，0）且斜率為1的直線交曲線C于A、B兩點，求弦AB的長．

Answer 1

分析：（I）設點M（x，y），點P的坐標為（x₀，y₀），由

MP

=4

PM

，可得：x=x_o，y=

4

5

y₀，P（x₀，y₀）在圓x²+y²=25上，所以，x₀²+y₀²=25，由此能求出點M的軌跡C的方程．
（II）設A（x₁，y₁），B （x₂，y₂），由已知得直線方程：y=x-3，

x2 25 + y2 16 =1，(1) y=x-3，(2)

，整理得41x₂-150x-175=0，由韋達定理能導出弦AB的長度．

解答：解：（I）設點M（x，y），點P的坐標為（x₀，y₀），由

MP

=4

PM

，

可得：x=x_o，y=

4

5

y₀，
P（x₀，y₀）在圓x²+y²=25上，所以，x₀²+y₀²=25，
將x_o=x，y₀=

5

4

，y代入方程①，得

x2

25

+

y2

16

=1，
故點M的軌跡C的方程為

x2

25

+

y2

16

=1，
（II）設A（x₁，y₁），B （x₂，y₂），由已知得直線方程：y=x-3

x2 25 + y2 16 =1，(1) y=x-3，(2)

，
將（2）代入整理得41x₂-150x-175=0
由偉達定理：x1+x2=

150

41

，x1x1=-

175

41

．
所以：|AB|=

(x1-x2) 2+(y2-y1) 2

=

1+k2

(x1+x2) 2-4x1x2

=

320

41

，
故弦AB的長度為

320

41

．

點評：本題考查點M的軌跡C的方程和求弦AB的長．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．