Question

已知函數，，．
（1）若在存在極值，求的取值范圍；
（2）若，問是否存在與曲線和都相切的直線？若存在，判斷有幾條？并求出公切線方程，若不存在，說明理由。

Answer 1

（1）（2）存在一條公切線，切線方程為：

試題分析：（Ⅰ） 依題有：則在上有變號零點；
令，則
當，則；當，則
因此，在處取得極小值。            3分
而，，
易知，
①當存在兩個變號零點時，，可得：
②      當存在一個變號零點時，，可得：
綜上，當在上存在極值時，的范圍為：       6分
(Ⅱ) 當時，，
易知是與的一個公共點。
若有公共切線，則必為切點，∵，∴
可知在處的切線為
而，∴則
可知在處的切線也為
因此，存在一條公切線，切線方程為：。          12分
點評：函數在某區間有極值，則在區間上有變號零點，轉化為導函數最大值最小值一正一負，第二問找到兩函數的公共點是求解的關鍵，只需求在該點處的兩條切線看其是否相同