Question

下列幾個命題：
①方程x²+（a-3）x+a=0有一個正實根，一個負實根，則a＜0；
②函數y=

x2-1

+

1-x2

是偶函數，但不是奇函數；
③設函數y=f（x）定義域為R，則函數y=f（1-x）與y=f（x-1）的圖象關于y軸對稱；
④一條曲線y=|3-x²|和直線y=a（a∈R）的公共點個數是m，則m的值不可能是1．
其中正確的有

①④

．

Answer 1

分析：①利用一元二次方程根與系數之間的關系判斷．②利用函數奇偶性的定義和性質判斷．③利用函數圖象的對稱性判斷．④利用函數圖象判斷函數交點個數．

解答：解：①要使方程x²+（a-3）x+a=0有一個正實根，一個負實根，則根據根與系數之間的關系，可兩根之積為負值，即a＜0，∴①正確．
②要使函數有意義，則÷

x2-1≥0 1-x2≤0

，即x²=1，解得x=±1，即函數f（x）的定義域為{1，-1}，關于原點對稱，此時f（x）=0，
∴f（x）為既是奇函數也是偶函數，∴②錯誤．
③∵y=f（1-x）=f[-（x-1）]，∴令t=x-1，則y=f（1-x）=f（-t），y=f（x-1）=f（t），則y=f（t）和y=f（-t）關于t=0對稱，由t=x-1=0，解得x=1，
即函數y=f（1-x）與y=f（x-1）的圖象關于x=1軸對稱，∴③錯誤．
④作出函數y=|3-x²|的圖象如圖，由圖象可知，
當a＞3時，兩個圖象的交點個數為2個，
當a=3時，兩個圖象的交點個數為3個，
當0＜a＜3時，兩個圖象的交點個數為4個，
當a=0時，兩個圖象的交點個數為2個，
當a＜0時，兩個圖象的交點個數為0個，
故m不可能是1個，∴④正確．
故答案為：①④．

點評：本題主要考查函數的圖象和性質，考查函數性質的綜合應用，綜合性較強．