Question

（本題滿分16分）已知函數．
（1）若關于的方程只有一個實數解，求實數的取值范圍；
（2）若當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍。

Answer 1

解：（1）方程，即，變形得，
顯然，已是該方程的根，從而欲原方程只有一解，即要求方程，
有且僅有一個等于1的解或無解，
結合圖形得.                                  ……………………6分
（2）不等式對恒成立，即（*）對恒成立，
①當時，（*）顯然成立，此時；          ……………………8分
②當時，（*）可變形為，………………………10分
令 …………………………12
因為當時，，當時，，
所以，故此時. …………………15分
綜合①②，得所求實數的取值范圍是. …………………………………16分

第一問中，方程，即，變形得，
顯然，已是該方程的根，從而欲原方程只有一解，即要求方程，
有且僅有一個等于1的解或無解，
結合圖形得.
第二問，不等式對恒成立，即（*）對恒成立，
①當時，（*）顯然成立，此時；       
②當時，（*）可變形為
令
因為當時，，當時，，
所以，故此時