Question

已知函數(shù)的圖像是自原點(diǎn)出發(fā)的一條折線，當(dāng)時(shí)，該圖像是斜率為的線段（其中正常數(shù)），設(shè)數(shù)列由定義.

Ⅰ.求、和的表達(dá)式；

Ⅱ.求的表達(dá)式，并寫出其定義域；

Ⅲ.證明：的圖像與的圖像沒有橫坐標(biāo)大于1的交點(diǎn).

Answer 1

答案見解析

解析:

Ⅰ.解：依題意，又由，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像是斜率為的線段，故由，得

又由，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像是斜率為的線段，故由 ，即得 

記由函數(shù)圖像中第段線段的斜率為，故得

又；所以

由此知數(shù)列為等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公比為因得

即 

Ⅱ. 解：當(dāng)，從Ⅰ可知當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，由Ⅰ可知

為求函數(shù)的定義域，須對(duì)進(jìn)行討論.

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，也趨向于無窮大.

綜上，當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?img width=64 height=45 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/70/145270.gif">；

當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?img width=45 height=23 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/73/145273.gif">.

Ⅲ. 證法一：首先證明當(dāng)，時(shí)，恒有成立.

用數(shù)學(xué)歸納法證明：

（ⅰ）由Ⅱ知當(dāng)時(shí),在上,

所以成立

（ⅱ）假設(shè)時(shí)在上恒有成立.

可得

在上,

所以

也成立.

由(ⅰ)與(ⅱ)知,對(duì)所有自然數(shù)在上都有成立.

即  時(shí),恒有.

其次，當(dāng),仿上述證明,可知當(dāng)時(shí),恒有成立.

故函數(shù)的圖像與的圖像沒有橫坐標(biāo)大于1的交點(diǎn).

證法二:首先證明當(dāng),時(shí),恒有成立.

對(duì)任意的存在,使，此時(shí)有

所以

又所以，

所以，即有成立.

其次，當(dāng)，仿上述證明，可知當(dāng)時(shí)，恒有成立.

故函數(shù)的圖像與的圖像沒有橫坐標(biāo)大于1的交點(diǎn).