Question

（2013•門頭溝區一模）在邊長為1的正方形ABCD中，E、F分別為BC、DC的中點，則向量

AE

•

AF

=

1

．

Answer 1

分析：設∠EAB=θ，則由正方體的性質可得∠FAD=θ，∠EAF=

π

2

-2θ．設正方形的邊長為1，求得sinθ 和cosθ的值，可得
cos∠EAF=cos（

π

2

-2θ）的值，再利用兩個向量的數量積的定義求得向量

AE

•

AF

的值．

解答：解：設∠EAB=θ，則由正方體的性質可得∠FAD=θ，∠EAF=

π

2

-2θ．
設正方形的邊長為1，則AE=AF=

1+ 1 4

=

5

2

，sinθ=

1 2

5 2

=

5

5

，cosθ=

1

5 2

=

2 5

5

．
∴cos∠EAF=cos（

π

2

-2θ）=sin2θ=2sinθcosθ=

4

5

  向量

AE

•

AF

=

5

2

•

5

2

•cos∠EAF=1，
故答案為1．

點評：本題主要考查兩個向量的數量積的定義，二倍角公式、誘導公式的應用，求得cos∠EAF=

4

5

，是解題的關鍵，屬于中檔題．