Question

（Ⅰ）求證：

C

m n

=

n

m

C

m-1 n-1

；
（Ⅱ）利用第（Ⅰ）問的結果證明C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=n•2^n-1；  
（Ⅲ）其實我們常借用構造等式，對同一個量算兩次的方法來證明組合等式，譬如：（1+x）¹+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=

(1+x)[1-(1+x)n]

1-(1+x)

=

(1+x)n+1-(1+x)

x

；，由左邊可求得x²的系數為C₂²+C₃²+C₄²+…+C_n²，利用右式可得x²的系數為C_n+1³，所以C₂²+C₃²+C₄²+…+C_n²=C_n+1³．請利用此方法證明：（C_2n⁰）²-（C_2n¹）²+（C_2n²）²-（C_2n³）²+…+（C_2n²ⁿ）²=（-1）ⁿC_2nⁿ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分析右式，將組合數公式展開，可得

n

m

(n-1)!

(m-1)![(n-1)-(m-1)]!

=

n!

m!(n-m)!

，利用組合數可得與左式相等，即可證明原式，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：mC_n^m=nC_n-1^m-1，則左式可以變形為nC_n-1⁰+nC_n-1¹+nC_n-1²+…+nC_n-1^n-1，進而可以變為n（C_n-1⁰+nC_n-1¹+nC_n-1²+…+nC_n-1^n-1），由二項式系數的性質，可變形為n•2^n-1，即可證明原式；
（Ⅲ）根據題意，構造等式（x-1）²ⁿ•（x+1）²ⁿ=（x²-1）²ⁿ，分別從左式和右式求得x²ⁿ的系數，令其相等，即可證明原式．

解答：證明：（Ⅰ）右式=

n

m

(n-1)!

(m-1)![(n-1)-(m-1)]!

=

n!

m!(n-m)!

=C_n^m=左式，
原等式可得證明；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：mC_n^m=nC_n-1^m-1，
故左式=nC_n-1⁰+nC_n-1¹+nC_n-1²+…+nC_n-1^n-1=n（C_n-1⁰+nC_n-1¹+nC_n-1²+…+nC_n-1^n-1）=n•2^n-1；
原等式可得證明； 
（Ⅲ）根據題意，構造等式（x-1）²ⁿ•（x+1）²ⁿ=（x²-1）²ⁿ，
由左式可得x²ⁿ的系數為C_2n²ⁿ•（-1）²ⁿC_2n⁰+C_2n^2n-1•（-1）^2n-1C_2n¹+C_2n^2n-2•（-1）^2n-2C_2n²+…+C_2n⁰•（-1）⁰C_2n²ⁿ，
即（C_2n⁰）²-（C_2n¹）²+（C_2n²）²-（C_2n³）²+…+（C_2n²ⁿ）²，
由右式可得得x²ⁿ的系數為（-1）ⁿC_2nⁿ，
故有（C_2n⁰）²-（C_2n¹）²+（C_2n²）²-（C_2n³）²+…+（C_2n²ⁿ）²=（-1）ⁿC_2nⁿ，
原等式可得證明．

點評：本題考查組合數公式的應用，涉及二項式定理的應用，關鍵要根據題意，充分利用組合數的性質．