Question

(本小題滿分16分)
定義在D上的函數，如果滿足：對任意，存在常數，都有成立，則稱是D上的有界函數，其中M稱為函數的上界．
已知函數；．
（1）當a=1時，求函數在上的值域，并判斷函數在上是否為有界數，請說明理由；
（2）若函數在上是以3為上界的有界函數，求實數a的取值范圍；
（3）若，函數在上的上界是，求的取值范圍．

Answer 1

解：(1) 當時， 
因為在上遞減，所以，即在的值域為
故不存在常數，使成立
所以函數在上不是有界函數．  
(2) 由題意知，在上恒成立．
，   
∴ 在上恒成立
∴ 
設，，，由得 t≥1，
設，

所以在上遞減，在上遞增，
在上的最大值為，在上的最小值為 
所以實數a的取值范圍為
(3) ，
∵ m > 0 ，     
∴ 在上遞減，∴     即 
①當，即時，，此時，
②當，即時，， 此時，  
綜上所述，當時，的取值范圍是；
當時，的取值范圍是

略