Question

已知直線l_n：y=x-

2n

與圓C_n：x²+y²=2a_n+n+2（n∈N⁺）交于不同點A_n、B_n，其中數列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=

1

4

|A_nB_n|²
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=

n

3

（a_n+2），求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（I）由題意及數列{a_n}的已知的遞推關系，求出該數列的通項公式；
（II）有數列{b_n}的定義，在（I）的條件下是這一數列具體化，有通項公式選擇錯位相減法求出新數列的前n項和．

解答：解：（1）
∴an+1=(

1

2

|AnBn|)2=2an+2，則an+1+2=2(an+2)
∴易得a_n=3×2^n-1-2
（2）bn=

n

3

(an+2)=n•2n-1，
S_n=1×2⁰+2×2¹+3×2²++n×2^n-1
2S_n=1×2¹+2×2²+3×2³++n×2ⁿ
相減得S_n=（n-1）2ⁿ+1

點評：此題重點考查了有數列{a_n}的遞推關系式，求其通項公式，還考查了利用錯位相減法求數列{b_n}的前n項和．