Question

某高校在2011年的自主招生考試成績中隨機抽取   100名學生的筆試成績，按成績分組，得到的頻率分布表如下所示．

（1）請先求出頻率分布表中①，②位置相應的數據，再完成下列頻率分布直方圖；并確定中位數。（結果保留2位小數）
（2）為了能選拔出最優秀的學生，高校決定在筆試成績高的第3，4，5組中用分層抽樣抽取6名學生進入第二輪面試，求第3，4，5組每組各抽取多少名學生進入第二輪面試？
（3）在（2）的條件下，學校決定在6名學生中隨機抽取2名學生接受考官進行面試，求第4組至少有一名學生被考官A面試的概率？

Answer 1

（1）①35②0.3中位數為171.67；
     
（2）3,2,1（3）

試題分析：1）由頻率的意義可知，每小組的頻率=頻數：總人數，由此計算填表中空格；（2）先算出第3、4、5組每組學生數，分層抽樣得按比例確定每小組抽取個體的個數，求得第3、4、5組每組各抽取多少名學生進入第二輪面試．（3）根據概率公式計算，事件“六位同學中抽兩位同學”有15種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件“第4組的2位同學為B₁，B₂至少有一位同學入選”可能種數是9，那么即可求得事件A的概率.
解：（1）由題可知，第2組的頻數為0.35×100=35人，（1分）第3組的頻率為30:100=0.300，（2分）頻率分布直方圖如圖所示：

（5分）（2）因為第3、4、5組共有60名學生，所以利用分層抽樣在60名學生中抽取6名學生，每組分別為：第3組：
×6=3人，（6分）第4組：×6=2人，（7分）第5組： ×6=1人，（8分）所以第3、4、5組分別抽取3人、2人、1人．（3）設第3組的3位同學為A₁，A₂，A₃，第4組的2位同學為B₁，B₂，第5組的1位同學為C₁，則從六位同學中抽兩位同學有15種可能如下：
（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₁，C₁），（A₂，A₃），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₂，C₁），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（A₃，C₁），
（B₁，B₂），（B₁，C₁），（B₂，C₁），（10分）其中第4組的2位同學為B₁，B₂至少有一位同學入選的有：（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₁），（B₁，B₂），（A₃，B₂），（B₁，C₁），（B₂，C₁），9中可能，（12分）所以其中第4組的2位同學為B₁，B₂至少有一位同學入選的概率為9:15=3:5．（15分）
點評：此題考查了對頻數分布直方圖的掌握情況，考查的是概率的求法．如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現m種結果，那么事件A的概率P（A）=m：n