Question

已知等邊三角形ABC的高為h，它的內切圓半徑為r，則r：h=1：3，由此類比得：已知正四面體的高為H，它的內切球半徑為R，則R：H=

1：4

．

Answer 1

分析：平面圖形類比空間圖形，二維類比三維得到類比平面幾何的結論，則正四面體的內切球半徑等于這個正四面體高的 1：4，證明時連接球心與正四面體的四個頂點．把正四面體分成四個高為R的三棱錐，正四面體的體積，就是四個三棱錐的體積的和，求解即可．

解答：解：從平面圖形類比空間圖形，從二維類比三維，
可得如下結論：正四面體的內切球半徑等于這個正四面體高的 1：4．
證明如下：球心到正四面體一個面的距離即球的半徑R，連接球心與正四面體的四個頂點．
把正四面體分成四個高為R的三棱錐，所以4×

1

3

S•R=

1

3

•S•H，R=

1

4

H．
（其中S為正四面體一個面的面積，H為正四面體的高）
故答案為：1：4．

點評：本題主要考查類比推理．類比推理是指依據兩類數學對象的相似性，將已知的一類數學對象的性質類比遷移到另一類數學對象上去．一般步驟：①找出兩類事物之間的相似性或者一致性．②用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（或猜想）．