Question

如圖，已知正方體AC₁的棱長為1，求
（1）B₁B與平面角A₁BD所成角的余弦值
（2）二面角A₁-BD-C₁的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由平行線和平面所成的角相等把B₁B與平面角A₁BD所成角可轉化為求A₁A與平面A₁BD所成角，證出平面A₁BD⊥平面A₁AO，∴A₁A在平面A₁BD上的射影落在A₁O上，從而找到線面角，解直角三角形的結論；
（2）由（1）可得二面角的平面角，解三角形利用余弦定理求解．

解答：解：如圖，

（1）∵B₁B∥A₁A，
∴B₁B與平面角A₁BD所成角可轉化為求A₁A與平面A₁BD所成角，設為θ，
∵BD⊥AC且BD⊥A₁A，∴BD⊥平面A₁AO，
又∵BD?平面A₁BD，∴平面A₁BD⊥平面A₁AO，∴A₁A在平面A₁BD上的射影落在A₁O上，
則θ=∠AA₁O，∴所求角的余弦值為cosθ=

A1A

A1O

=

1

6 2

=

6

3

；
（2）BD⊥A₁O，C₁O⊥BD，∴∠A₁OC₁為二面角A₁-BD-C的平面角，
在△A₁OC₁中，由余弦定理可得cos∠A₁O C₁=

1

3

．

點評：本題考查了線面角和二面角的求法，考查了數學轉化思想方法，考查了學生的空間想象和思維能力，是中檔題．