Question

若f(x)=sin(2ωx-

π

6

)的圖象關于直線x=

π

3

對稱，其中ω∈(-

1

2

，

5

2

)．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）將y=f（x）的圖象向左平移

π

3

個單位，再將得到的圖象的橫坐標變為原來的2倍，（縱坐標不變）后得到的y=g（x）的圖象；若函數y=g(x)x∈(

π

2

，3π)的圖象與y=a的圖象有三個交點且交點的橫坐標成等比數列，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用f（x）的圖象關于直線x=

π

3

對稱求出ω，得到函數f（x）的表達式．
（Ⅱ）按照將y=f（x）的圖象向左平移 

π

3

個單位，再將得到的圖象的橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變）后，得到函數y=g（x）的表達式；求出函數y=g（x），x∈（

π

2

，3π）的范圍，函數的圖象與y=a的圖象有三個交點且交點的橫坐標成等比數列，列出方程，求a的值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）的圖象關于直線x=

π

3

對稱，
∴2ω•

π

3

-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，解得ω=

3

2

k+1．
∵ω∈（-

1

2

，

5

2

），
∴-

1

2

＜

3

2

k+1＜

5

2

，∴-1＜k＜1（k∈Z），
∴k=0，ω=1
∴f（x）=sin（2x-

π

6

）
（Ⅱ）將f（x）=sin（2x-

π

6

）的圖象向左平移

π

3

個單位后，
得到f（x）=sin[2（x+

π

3

）-

π

6

]=sin（2x+

π

2

）=cos2x，
再將得到的圖象的橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變）后，得到y=g（x）=cosx
函數y=g（x）=cosx，x∈（

π

2

，3π）的圖象與y=a的圖象有三個交點坐標分別為（x₁，a），（x₂，a），（x₃，a）且

π

2

＜x₁＜x₂＜x₃＜3π，
則由已知結合如圖圖象的對稱性有

x 2 2 =x1x3 x1+x2 2 =π x2+x3 2 =2π

，解得x₂=

4π

3

．
∴a=cos

4π

3

=-

1

2

．

點評：本題考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，兩角和與差的三角函數，正弦函數的單調性，考查計算能力，考查數形結合思想．