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設函數y=f（x）在區(qū)間（a，b）上的導函數為f′（x），f′（x）在區(qū)間（a，b）上的導函數為f″（x），若在區(qū)間（a，b）上f″（x）＜0恒成立，則稱函數f（x）在區(qū)間（a，b）上為“凸函數”．已知函數f（x）=
1
12
x4-
1
3
x3-
3
2
x2在區(qū)間（a，b）上為“凸函數”，則b-a的最大值為（　　）
A、4B、3C、2D、1
分析：利用導數的運算法則可得f′（x），f″（x）．由于函數f（x）在區(qū)間（a，b）上為“凸函數”，
可得：在區(qū)間（a，b）上f″（x）＜0恒成立，解得即可．
解答：解：∵函數f（x）=
1
12
x4-
1
3
x3-
3
2
x2，∴f′(x)=
1
3
x3-x2-3x，
∴f″（x）=x2-2x-3，
∵函數f（x）在區(qū)間（a，b）上為“凸函數”，
∴在區(qū)間（a，b）上f″（x）＜0恒成立，
由x2-2x-3＜0，解得-1＜x＜3．
∴a=-1，b=3，
∴b-a=3-（-1）=4．
故選：A．
點評：本題考查了導數的運算法則、“凸函數”的定義，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設函數y=f（x）在（-∞，+∞）內有定義．對于給定的正數K，定義函數 fk(x)=
f(x)，f(x)≤K
K，f(x)＞K
，取函數f（x）=2-x-e-x．若對任意的x∈（+∞，-∞），恒有fk（x）=f（x），則（　　）
A、K的最大值為2
B、K的最小值為2
C、K的最大值為1
D、K的最小值為1

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數y=f（x）在（-∞，+∞）內有定義，對于給定的正數K，定義函數：fK(x)=
f(x)
1
f(x)
f(x)≤K
 
f(x)＞K
，取函數f(x)=(
1
2
)|x|，當K=
1
2
時，函數fK（x）的值域是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數y=f（x）在（a，b）上的導數為f′（x），f′（x）在（a，b）上的導數為f″（x），若在（a，b）上，f″（x）＜0恒成立，則稱函數f（x）在（a，b）上為“凸函數”．若函數f(x)=
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x4-
1
6
mx3-
3
2
x2為區(qū)間（-1，3）上的“凸函數”，則m=
2
2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數y=f（x）在（-∞，+∞）上滿足f（-x）=f（4+x），f（4-x）=f（10+x），且在閉區(qū)間[0，7]上，f（x）=0僅有兩個根x=1和x=3，則方程f（x）=0在閉區(qū)間[-2011，2011]上根的個數有
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．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數y=f（x）在（-∞，+∞）內有定義．對于給定的正數K，定義函數fk（x）=
f(x)，f(x)≥K
K，f(x)＜K
，取函數f（x）=2+x+e-x．若對任意的x∈（+∞，-∞），恒有fk（x）=f（x），則（　　）

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